UJI KHI-KUADRAT KASUS K SAMPEL BEBAS

UJI KHI-KUADRAT KASUS K SAMPEL BEBAS

            

Uji digunakan untuk menguji hipotesis komparatif lebih dari dua sampel, bila datanya berbentuk diskrit atau nominal. Rumus dasar untuk pengujian adalah sama dengan komparatif dua sampel independen, yaitu:

Untuk menguji signifikansi c²_hitung, perlu dibandingkan dengan harga-harga kritis untuk Khi-kuadrat. Ketentuan pengujian adalah bila c²_hitung > c²_a maka H₀ ditolak.

Contoh 16.1.: Data berikut merupakan hubungan antara agama yang dianut dengan daerah geografis. Dua kelompok orang dipilih secara acak, satu dari pantai timur dan satu lagi dari pantai barat Amerika Serikat. Frekuensi amatan disajikan sebagai berikut:

	Protestan	Katolik	Jahudi	Jumlah
Pantai Timur Pantai Barat	182 154	215 136	203 110	600 400
Jumlah	336	351	313	1000

Dengan taraf nyata sebesar 5%, apakah antara agama yang dianut dengan daerah geografis tidak berhubungan?

Jawab:

H₀: p₁ = p₂ =…= p_k (antara agama yang dianut dengan daerah geografis tidak berhubungan)

H₁: p₁ ¹  p₂ ¹…¹  p_k (antara agama yang dianut dengan daerah geografis berhubungan)

Untuk mendapatkan nilai harapan dari masing-masing sel adalah:

P (Protestan di Pantai Timur) = (336)(600)/1000 = 202

P (Protestan di Pantai Barat) = (336)(400)/1000 = 134

P (Katolik di Pantai Timur) = (351)(600)/1000 = 211

P (Katolik di Pantai Barat) = (351)(400)/1000 = 140

P (Jahudi di Pantai Timur) = (313)(600)/1000 = 187

P (Jahudi di Pantai Barat) = (313)(400)/1000 = 126

Sehingga didapatkan:

	Protestan	Katolik	Jahudi	Jumlah
Pantai Timur Pantai Barat	182 (202) 154 (134)	215 (211) 136 (140)	203 (187) 110 (126)	600 400
Jumlah	336	351	313	1000

c² = (182-202)²/202+………+(110-126)²/126 = 8,556

Dari tabel kita peroleh nilai c²_0,05;2 = 5,99. Karena c²_hitung > c²_a (8,556 > 5,99) maka kita putuskan tolak H₀ yang berarti bahwa antara agama yang dianut dengan daerah geografis berhubungan.

UJI KRUSKAL WALLIS KASUS K SAMPEL BEBAS

Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis komparatif lebih dari 2 sampel, bila datanya berbentuk ordinal. Untuk kasus 2 sampel, uji ini ekivalen dengan uji Mann Whitney. Informasi yang digunakan pun lebih lengkap dibandingkan uji median sehingga lebih bersifat powerfull.

Sampel 1	Sampel 2	…	Sampel k
X1,1 X1,2 X1,3 . .	X2,1 X2,2 X2,3 . .	. . . . .	Xk,1 Xk,2 Xk,3 . .
X1,n1	X2,n1	.	Xk,nk

                       

Dari seluruh pengamatan, urutkan dan beri peringkat dari yang terkecil hingga terbesar, kemudian jumlahkan peringkat pada masing-masing sampel. Sedang untuk nilai yang sama maka peringkatnya diambil rata-ratanya.

Untuk menguji H₀, bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang sama digunakan rumus:

Untuk menguji signifikansi H, perlu dibandingkan dengan harga-harga kritis untuk Khi-kuadrat. Ketentuan pengujian adalah bila nilai H > c²_a,an maka H₀ ditolak.

Raw measures			Ranked Measures			Kombinasi A, B, C
A	B	C	A	B	C
6.4	2.5	1.3	11	2	1
6.8	3.7	4.1	12	3	4
7.2	4.9	4.9	13	5.5	5.5
8.3	5.4	5.2	17	8	7
8.4	5.9	5.5	18	10	9
9.1	8.1	8.2	19	14	15.5
9.4	8.2		20	15.5
9.7			21
Sum of ranks			131	58	42	231
Average of ranks			16.4	8.3	7.0	11

	A	B	C	D
Counts	8	7	6	21
Sums	131	58	42	231
Means	16.4	8.3	7.0	11.0

A:        8 (16.4 – 11.0)² = 233.3

B:        7 (8.3 – 11.0)² = 51.0

C:        6 (7.0 – 11.0)² = 96.0

     SSB = 380.3

Contoh 16.1.: Dalam suatu percobaan untuk menentukan yang manakah dari ketiga sistim rudal yang lebih baik, diukur laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya adalah sebagai berikut:

Sistim rudal 1	Sistim rudal 2	Sistim rudal 3
24,0 16,7 22,8 19,8 18,9	23,2 19,8 18,1 17,6 20,2 17,8	18,4 19,1 17,3 17,3 19,7 18,9 18,8 19,3

Dengan taraf nyata sebesar 5%, apakah laju pembakaran bahan bakar sama untuk semua sistim rudal?

Jawab:

H₀: p₁ = p₂ =…= p_k (laju pembakaran bahan bakar sama untuk semua sistim rudal)

H₁: p₁ ¹  p₂ ¹…¹  p_k (laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk semua sistim rudal)

Sistim rudal 1	Ranking	Sistim rudal 2	Ranking	Sistim rudal 3	Ranking
24,0 16,7 22,8 19,8 18,9	19 1 17 14,5 9,5	23,2 19,8 18,1 17,6 20,2 17,8	18 14,5 6 4 16 5	18,4 19,1 17,3 17,3 19,7 18,9 18,8 19,3	7 11 2,5 2,5 13 9,5 8 12
	R1 = 61		R1 = 63,5		R1 = 65,5

H = 12 [61²/5+63,5²/6+65,5²/8) – 3(20)]/ 19(20) = 1,6586

Dari tabel kita peroleh nilai c²_0,05;2 = 5,99. Karena H < c²_a (1,6586 < 5,99) maka kita putuskan terima H₀ yang berarti bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk semua sistim rudal.

UJI JONCKHEERE KASUS K SAMPEL BEBAS

           

Uji Jonckheere untuk alternative berurut adalah mirip dengan uji Kruskal-Wallis, tetapi mempunyai hipotesis alternative yang spesifik. Misalnya dalam sebuah riset tentang kemujaraban sejenis obat, peneliti ingin tahu apakah data sampel menunjukkan bahwa peningkatan dosis dibarengi dengan peningkatan reaksi. Atau seorang pendidik mungkin ingin tahu apakah tingkat-tingkat gangguan dalam ujian yang diklasifikasikan dari ringan, sedang dan berat mengakibatkan makin turunnya nilai-nilai.

Struktur data

Grup
1	2	…
		…
		…
		…

Pertama definisikan dahulu statistik Mann-Whitney count

Di mana  #(Xhi,j) merupakan banyak kali data  Xhi lebih kecil dari data pada sampel  , di mana i < j.

Statistik ujinya adalah:

           

Dengan U_ij adalah banyaknya pasangan hasil pengamatan (a,b) yang dalam hal ini X_ia lebih kecil dari X_jb. Jadi kita membandingkan hasil-hasil pengamatan dalam semua pasangan sampel. Apabila masing-masing nilai pengamatan dalam sampel pertama lebih kecil dibandingkan dengan setiap nilai pengamatan dalam sampel kedua, maka kita memberikan skor 1 bagi pasangan yang bersangkutan. Dan sebaliknya, kita akan memberikan skor 0. Namun bila menjumpai angka sama ketika membandingkan nilai-nilai pengamatan, berilah skor ½.

Untuk menguji signifikansi J, perlu dibandingkan dengan harga-harga kritis untuk J. Ketentuan pengujian adalah bila nilai J_hitung > J_a,n1,n2,n3 maka H₀ ditolak.

Contoh 17.1.: Berikut adalah data hasil pengamatan yang terbaru dari 3 sampel, yaitu sebagai berikut:

Sampel I (S)	Sampel II (U)	Sampel III (N)
54,0 67,0 47,2 71,1 62,7 44,8 67,4 80,2	79,8 82,0 88,8 79,6 85,7 81,7 88,5	98,6 99,5 95,8 93,3 98,9 91,1 94,5

Dengan taraf nyata sebesar  5%, apakah sampel-sampel dari populasi-populasi yang identik dan tidak ada kecenderungan menurun?

Jawab:

H₀: Sampel-sampel dari populasi-populasi yang identik dan tidak ada kecenderungan menurun.

H₁: Nilai-nilai dalam populasi-populasi, dari N ke S, cenderung menurun.

Mula-mula kita bandingkan nilai-nilai pengamatan dalam kelompok S dengan kelompok U (54,0 – 79,8; 54,0 – 82,0;……; 80,2 – 88,5) dan mendapatkan U_SU = 54. Lalu kelompok S dengan kelompok N (U_SN = 56), kemudian kelompok U dengan kelompok N (U_UN = 49).

J = 54 + 56 + 49 = 159

Dari tabel kita peroleh nilai J_0,05;7,7,8 = 109. Karena J_hitung > J_a;n1,n2,n3 (159>109) maka kita putuskan tolak H₀ yang berarti bahwa nilai-nilai dalam populasi-populasi, dari N ke S, cenderung menurun.